هندسه کثیفی که حدس دیرینه کاشی کاری را زیر پا گذاشت

اگر مربع را به عنوان یک قطعه پازل در نظر بگیرید و سایر موزاییک ها از همان مجموعه تبدیل استفاده می کنند، می توان آنها را مانند برش های ساندویچ سرد روی هم قرار داد و موزاییکی ساخت که از یک مجموعه تبدیل برای پوشش فضای سه بعدی استفاده می کند. گرینفلد و تائو باید این کار را در مقیاس بزرگتر انجام دهند. تائو می‌گوید از آنجایی که ما روی ابعاد بالاتر کار می‌کنیم، افزودن بعد دیگر به کار ما آسیب زیادی وارد نمی‌کند. به این ترتیب می توان به انعطاف بیشتری برای رسیدن به یک راه حل خوب دست یافت.

ریاضیدانان می خواستند این روش ساندویچ را معکوس کنند و معادله مسئله کاشی کاری با ابعاد بالا را به عنوان مجموعه ای از معادلات کاشی کاری در ابعاد پایین تر بازنویسی کنند. این معادلات بعداً ساختار موزاییکی را در ابعاد بالا مشخص می کند.

گرینفلد و تائو سیستم معادلات کاشی کاری خود را به یک برنامه کامپیوتری تشبیه کردند: هر خط کد یا معادله یک دستورالعمل است و ترکیبی از دستورالعمل ها می تواند برنامه ای را تولید کند که به هدف خاصی می رسد. طبق نظر تائو، مدارهای منطقی از دروازه های AND و OR ساخته شده اند که هر کدام به تنهایی جذاب نیستند. اما می‌توانید آنها را روی هم قرار دهید تا مداری به دست آورید که موج سینوسی می‌کشد یا اتصال اینترنت برقرار می‌کند.

بنابراین مشکل را نوعی مشکل برنامه نویسی می دانستند. هر دستور معادل یک ویژگی متفاوت است که برای رسیدن به کاشی کاری نهایی لازم است. بنابراین برنامه به طور کلی تضمین می کند که کاشی کاری باید غیر دوره ای باشد.

سپس این سوال مطرح شد که برای اجرای معادلات کاشی کاری چه ویژگی هایی لازم است؟ به عنوان مثال، یک موزاییک در یک لایه ساندویچ ممکن است به گونه ای پیکربندی شود که فقط انواع خاصی از حرکات را مجاز می کند. به همین دلیل، ریاضیدانان محدودیت های خود را دقیقاً اعمال کردند تا مانع از همه راه حل ها نشوند. به گفته گرینفلد، چالش اصلی در اینجا دستیابی به سطح مناسبی از محدودیت برای رمزگذاری پازل صحیح است.

پازلی که گرینفلد و تائو با معادلات موزاییکی خود به دنبال برنامه ریزی آن بودند، در واقع شبکه ای با تعداد بی نهایت ردیف و تعداد ستون های بزرگ اما محدود بود. این دو ریاضیدان می خواستند هر خط و هر مورب با دنباله های خاصی از اعداد پر شود که معادل انواع قیود توصیف شده توسط معادلات کاشی کاری است. آنها این شبکه را به یک پازل غول پیکر سودوکو تشبیه کردند. سپس دو ریاضیدان دریافتند که توالی ها غیر تناوبی هستند. یعنی حل سیستم مربوط به معادلات موزاییک نیز غیر تناوبی بوده است. به گفته تائو، در اصل تنها یک راه حل برای این معما وجود دارد و جالب است که «تقریبا» دوره ای است، نه «کاملا».

همانطور که یوسویچ می گوید، گرینفلد و تائو در واقع یک شی بسیار ابتدایی را برداشتند و آن را به نقطه ای رساندند که همه چیز پیچیده تر به نظر برسد. برای انجام این کار، آنها یک موزاییک غیر تناوبی با ابعاد بالا ابتدا در یک محیط گسسته و سپس در یک زمینه پیوسته ساختند. موزاییک آنها آنقدر پیچیده و پر از سوراخ است که به سختی فضا را می پوشاند. در واقع یک موزاییک نامنظم است. تائو می گوید هیچ تلاشی برای زیباسازی موزاییک انجام نداده است. بعداً او و گرینفلد فضای موزاییکی را هم محاسبه نکردند، اما به سادگی بدانید که این فضا 2 به توان 100 به توان 100 است. هنوز کاغذ تمام می شود اثبات آنها نوعی اثبات ساختاری است، به گونه ای که همه چیز بدیهی و قابل محاسبه است، اما هنوز با بهینه فاصله دارد.

در واقع، ریاضیدانان فکر می‌کنند که می‌توانند موزاییک‌های غیر تناوبی را در ابعاد پایین‌تر هم پیدا کنند. دلیل این ذهنیت این بود که بخش هایی از ساختار آنها شامل فضاهای خاصی بود که نزدیک به فضای دو بعدی بود. اما گرینفلد معتقد بود که یک کاشی سه بعدی پیدا کرده است و ممکن است یک کاشی چهار بعدی نیز وجود داشته باشد.